SISTEMA GRACELI - DINÂMICO ESTATÍSTICO QUÂNTICO [32]

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

Em matemática, a medida de Gibbs, em homenagem a Josiah Willard Gibbs,[1][2] é uma medida de probabilidade vista com freqüência em muitos problemas de teoria da probabilidade e mecânica estatística.[3] É uma generalização do conjunto canônico para sistemas infinitos. O conjunto canônico dá a probabilidade do sistema $X$ estar no estado $x$ (equivalentemente, da variável aleatória $X$ ter valor $x$ ) como:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

P(X=x)={\frac {1}{Z(\beta )}}\exp(-\beta E(x))

Aqui, $E (x)$ é uma função a partir dos espaços de estados para os números reais; em aplicações da física, $E (x)$ é interpretada como a energia da configuração x. O parâmetro β é um parâmetro livre; na física, é a temperatura inversa. A constante de normalização $Z (β)$ é a função de partição. No entanto, em sistemas infinitos, a energia total não é mais um número finito e não pode ser usado na construção tradicional da distribuição de probabilidade de um conjunto canônico. As abordagens tradicionais em física estatística estudaram o limite de propriedades intensivas conforme o tamanho de um sistema finito se aproxima do infinito (o limite termodinâmico). Quando a função energética pode ser escrita como uma soma de termos, cada um envolvendo apenas as variáveis de um subsistema finito, a noção de medida de Gibbs fornece uma abordagem alternativa. Medidas de Gibbs foram propostas por teóricos de probabilidade como Dobrushin, Lanford, e Ruelle e forneceu uma base para estudar diretamente sistemas infinitos, em vez de usar o limite de sistemas finitos.

Uma medida é uma medida de Gibbs se as probabilidades condicionais que ela induz em cada subsistema finito satisfaçam uma condição de consistência: se todos os graus de liberdade fora do subsistema finito são congelados, o conjunto canônico para o subsistema sujeito a estas condições de contorno corresponde à probabilidades na medida de Gibbs condicional aos graus de liberdade congelados.

O teorema de Hammersley–Clifford implica que qualquer medida da probabilidade que satisfaça a propriedade de Markov é uma medida de Gibbs para uma escolha apropriada (definidas localmente) de função energética. Portanto, a medida de Gibbs aplica-se a um grande número de problemas de física, tais como redes de Hopfield, redes de Markov, lógica de redes de Markov, e jogos potenciais racionais em teoria dos jogos e economia. Uma medida de Gibbs em um sistema com interações locais (gama finito) maximiza a densidade de entropia para uma dada densidade de energia esperada; ou, equivalentemente, minimiza a densidade de energia livre.

A medida de Gibbs de um sistema finito não é necessariamente única, em contraste com o conjunto canônico de um sistema finito, que é único. A existência de mais de uma medida de Gibbs está associada a fenômenos estatísticos, tais como quebra de simetria e a coexistência de fase.

Propriedade de Markov

Um exemplo da propriedade de Markov pode ser visto na medida de Gibbs do modelo Ising. A probabilidade de um dado spin σk estar em um estado s poderia, em princípio, depender dos estados de todos os outros spins no sistema. Assim, podemos escrever a probabilidade como

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)

No entanto, em um modelo Ising com apenas interações de intervalo finito (por exemplo, interações com os vizinhos mais próximos), na verdade tem-se

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)=P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\in N_{k})

onde $N k$ é uma vizinhança do sítio k. Isto é, a probabilidade no sítio k depende apenas dos spins em uma vizinhança finita. Esta última equação está na forma de uma propriedade de Markov local. Medidas com esta propriedade são chamadas às vezes campo aleatório de Markov. O inverso também é verdadeiro: qualquer distribuição de probabilidade positiva (densidade diferente de zero em todos os lugares), com a propriedade de Markov pode ser representada como uma medida de Gibbs para uma função energética adequada.[4] Esse é o teorema de Hammersley–Clifford.

Definição formal em retículos

O que se segue é uma definição formal para o caso especial de um campo aleatório em retículos, ou malha, ou rede (lattice). A idéia de uma medida de Gibbs é, no entanto, mais geral do que isso.

A definição de um campo aleatório de Gibbs em um retículo requer algumas terminologias:

O retículo: um conjunto contável $\mathbb {L}$ .
O espaço de spin único: um espaço de probabilidade $(S,{\mathcal {S}},\lambda )$ .
O espaço de configuração: $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ , onde $\Omega =S^{\mathbb {L} }$ e ${\mathcal {F}}={\mathcal {S}}^{\mathbb {L} }$ .
Dada uma configuração $ω \in Ω$ e um subconjunto $\Lambda \subset \mathbb {L}$ , a restrição de ω para $Λ$ é $\omega _{\Lambda }=(\omega (t))_{t\in \Lambda }$ . Se $\Lambda _{1}\cap \Lambda _{2}=\emptyset$ e $\Lambda _{1}\cup \Lambda _{2}=\mathbb {L}$ , então a configuração $\omega _{\Lambda _{1}}\omega _{\Lambda _{2}}$ é a configuração cujas restrições a $Λ 1$ e $Λ 2$ são $\omega _{\Lambda _{1}}$ e $\omega _{\Lambda _{2}}$ , respectivamente. Essas serão usadas para definir os conjuntos cilíndricos abaixo.
O conjunto $\mathcal{L}$ de todos os subconjuntos finitos de $\mathbb {L}$ .
Para cada subconjunto $\Lambda \subset \mathbb {L}$ , ${\mathcal {F}}_{\Lambda }$ é o σ-álgebra gerado pela família de funções $(\sigma (t))_{t\in \Lambda }$ , onde $\sigma (t)(\omega )=\omega (t)$ . Esse σ-álgebra é o σ-álgebra dos conjuntos cilíndricos no retículo.
O potencial: Uma família $\Phi =(\Phi _{A})_{A\in {\mathcal {L}}}$ de funções ΦA : Ω → R tais que
1. Para cada $A\in {\mathcal {L}},\Phi _{A}$ é ${\mathcal {F}}_{A}$ -mensurável.
2. Para todo $\Lambda \in {\mathcal {L}}$ e $ω \in Ω$ , a seguinte série existe:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega )=\sum _{A\in {\mathcal {L}},A\cap \Lambda \neq \emptyset }\Phi _{A}(\omega ).

Interpreta-se $Φ A$ como a contribuição para a energia total (o Hamiltoniano) associada a interação entre todos os pontos do conjunto finito A. Entao $H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega )$ é a contribuição para a energia total de todos os conjuntos finitos A que atendam $\Lambda$ . Observe que a energia total normalmente é infinita, mas quando se "localiza" para cada $\Lambda$ ela pode ser finita.

O Hamiltoniano em $\Lambda \in {\mathcal {L}}$ com condições de contorno ${\bar {\omega }}$ , para o potencial $Φ$ , é definido por

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }})=H_{\Lambda }^{\Phi }\left(\omega _{\Lambda }{\bar {\omega }}_{\Lambda ^{c}}\right)

onde

\Lambda ^{c}=\mathbb {L} \setminus \Lambda

A função de partição em $\Lambda \in {\mathcal {L}}$ com condições de contorno ${\bar {\omega }}$ e o inverso da temperatura $β > 0$ (para o potencial $Φ$ e λ) é definido por

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})=\int \lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )\exp(-\beta H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }})),

onde

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )=\prod _{t\in \Lambda }\lambda (\mathrm {d} \omega (t)),

é a medida do produto.

Um potencial

Φ

é λ-admissível se

Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})

é finito para todo

\Lambda \in {\mathcal {L}},{\bar {\omega }}\in \Omega

β > 0

Uma medida de probabilidade μ em

(\Omega ,{\mathcal {F}})

é uma medida de Gibbs para um potencial λ-admissível

Φ

se ela satisfaz a equação de Dobrushin–Lanford–Ruelle (DLR)

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\int \mu (\mathrm {d} {\bar {\omega }})Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})^{-1}\int \lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )\exp(-\beta H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }}))1_{A}(\omega _{\Lambda }{\bar {\omega }}_{\Lambda ^{c}})=\mu (A),

para todo

A\in {\mathcal {F}}

\Lambda \in {\mathcal {L}}

Exemplo

Para ajudar a compreender as definições acima, aqui estão as quantidades correspondentes no exemplo do modelo Ising com o interações com o vizinho mais próximo (constante de acoplamento J) e um campo magnético (h), em $Z d$ :

O retículo é simplesmente $\mathbb {L} =\mathbf {Z} ^{d}$ .
O espaço de spin único é $S = {-1, 1}.$
O potencial é dado por

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\Phi _{A}(\omega )={\begin{cases}-J\,\omega (t_{1})\omega (t_{2})&{\text{se }}A=\{t_{1},t_{2}\}{\text{ with }}\|t_{2}-t_{1}\|_{1}=1\\-h\,\omega (t)&{\text{se }}A=\{t\}\\0&{\text{do contrário}}\end{cases}}

Na teoria da probabilidade, um sistema de partículas em interação (IPS) é um processo estocástico $(X(t))_{t\in \mathbb {R} ^{+}}$ em algum espaço de configuração $\Omega =S^{G}$ dado por um espaço de sítio, um grafo infinito contável $G$ e um espaço de estado local, um espaço métrico compacto $S$ .[1] Mais precisamente, IPSs são processos de Marvok de tempo contínuo que descrevem o comportamento coletivo de componentes estocasticamente em interação. IPSs são os análogo de tempo contínuo dos autômatos celulares estocásticos. Entre os principais exemplos são o modelo de eleições, o processo de contato, o processo de exclusão simples assimétrico (PESA), a dinâmica de Glauber e, em particular, o modelo Ising estocástico.[2]

IPS são geralmente definidos através de seus geradores de Markov dando origem a um processo de Markov único utilizando semigrupos de Markov e o teorema de Hille-Yosida. Novamente o gerador é dada através das denominadas taxas de transição $c_{\Lambda }(\eta ,\xi )>0$ onde $\Lambda \subset G$ é um conjunto finito de sítios e $\eta ,\xi \in \Omega$ com $\eta _{i}=\xi _{i}$ para todo $i\notin \Lambda$ . As taxas descrevem tempos de espera exponenciais do processo para saltar da configuração $\eta$ para a configuração $\xi$ . Geralmente, as taxas de transição são dadas na forma de uma medida finita $c_{\Lambda }(\eta ,d\xi )$ em $S^{\Lambda }$ .

O gerador $L$ de um IPS tem a seguinte forma: primeiro, o domínio de $L$ é um subconjunto do espaço de "observáveis", isto é, o conjunto de valores reais de funções contínuas no espaço de configuração $\Omega$ . Em seguida, para qualquer $f$ observável no domínio de $L$ , tem-se

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$Lf(\eta )=\sum _{\Lambda }\int _{\xi :\xi _{\Lambda ^{c}}=\eta _{\Lambda ^{c}}}c_{\Lambda }(\eta ,d\xi )[f(\xi )-f(\eta )]$ .

Por exemplo, para o modelo Ising estocástico temos $G=\mathbb {Z} ^{d}$ , $S=\{-1,+1\}$ , $c_{\Lambda }=0$ se $\Lambda \neq \{i\}$ para alguns $i\in G$ e

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

c_{i}(\eta ,\eta ^{i})=\exp[-\beta \sum _{j:|j-i|=1}\eta _{i}\eta _{j}]

onde $\eta ^{i}$ é a configuração igual a $\eta$ exceto que ela é invertida no sítio $i$ . $\text{[math]}$ é um novo parâmetro modelando a temperatura inversa.

Em física a Distribuição de Boltzmann permite calcular a função distribuição para um número fracionário de partículas Ni / N ocupando um conjunto de estados i cada um dos quais tem energia Ei:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

{{N_{i}} \over {N}}={{g_{i}e^{-E_{i}/k_{B}T}} \over {Z(T)}}

onde $k_{B}$ é a constante de Boltzmann, T é a temperatura (admitida como sendo uma quantidade precisamente bem definida), $g_{i}$ é a degeneração, ou número de estados tendo energia $E_{i}$ , N é o total do número de partículas:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

N=\sum _{i}N_{i}\,

e Z(T) é chamada função partição, a qual pode ser tratada como sendo igual a

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

Z(T)=\sum _{i}g_{i}e^{-E_{i}/k_{B}T}.

Alternativamente, para um sistema único em uma temperatura bem definida, ela dá a probabilidade deste sistema em seu estado específico. A distribuição de Boltzmann aplica-se somente à partículas em uma suficiente alta temperatura e baixa densidade nas quais efeitos quânticos possam ser ignorados, e cujas partículas obedeçam a estatística de Maxwell–Boltzmann. (Veja este artigo para uma derivação da distribuição de Boltzmann.)

A distribuição de Boltzmann é frequentemente expressa em termos de β = 1/kT aonde β refere-se ao beta termodinâmico. O termo $e^{-\beta E_{i}}$ ou $e^{-E_{i}/(kT)}$ , o qual dá a relativa probabilidade (não normalizada) de um estado, é chamada factor de Boltzmann e aparece frequentemente no estudo da física e química.

Quando a energia é simplesmente a energia cinética da partícula

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

E_{i}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mv^{2},

então a distribuição corretamente dá a distribuição de Maxwell-Boltzmann das velocidades das moléculas do gás, previamente previstas por Maxwell em 1859. A distribuição de Boltzmann é, entretanto, muito mais geral. Por exemplo, ela prediz a variação da densidade de partículas num campo gravitacional em relação à altitude, se $E_{i}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mv^{2}+mgh$ . De fato a distribuição aplica-se sempre que as considerações quânticas possam ser ignoradas.

Em alguns casos, uma aproximação contínua pode ser usada. Se há g(E) dE estados com energia E a E + dE, quando a distribuição de Boltzmann prediz uma probabilidade de distribuição para a energia:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

p(E)\,dE={g(E)\exp({-\beta E}) \over {\int g(E')\exp {(-\beta E')}}\,dE'}\,dE.

Quando g(E) é chamado densidade de estado se o espectro de energia é contínuo.

Partículas clássicas com esta distribuição de energia são ditas obedientes à estatística de Maxwell–Boltzmann.

No limite clássico, i.e. em grandes volumes de E/kT ou às menores densidades de estados — quando funções de onda de partículas praticamente não se sobrepõe, tanto a distribuição Bose–Einstein ou a Fermi–Dirac tornam-se a distribuição de Boltzmann.

Pesquisar este blog

SISTEMA GRACELI - DINÂMICO ESTATÍSTICO QUÂNTICO [32]

Propriedade de Markov

Definição formal em retículos

Exemplo

Comentários

Postagens mais visitadas deste blog

Comentários

Postar um comentário

Postagens mais visitadas deste blog